Twierdzenie Goedla

Inżynier mówi do humanistów

Na początku lat siedemdziesiątych, jako młody inżynier zapisałem się na Kurs Zastosowań Matematyki organizowany przez Instytut Matematyki PAN. Nie zadowalała mnie wiedza wystarczająca w pracy konstruktora samochodów. Szykowałem się podświadomie do innego zawodu, który teraz wykonuję, już od 30 lat.



Wykładowcami byli wybitni matematycy polscy z całej Polski. Metody numeryczne wykładała młoda wówczas (dziś już emerytowana) dr Janina Jankowska z Uniwersytetu Warszawskiego. Jej mąż Michał, był z kolei, nieco później, moim profesorem na studium doktoranckim. Ich podręczniki z metod numerycznych są do dziś klasyką. Informatyki uczyli Andrzej Targowski i Krzysztof Rey. Analizę funkcjonalną z kolei wykładał wrocławski profesor Stanisław Hartman.



Zdawaliśmy normalne egzaminy, jak na studiach. Szkoda, że nie zachowałem indeksu z podpisem profesora Hartmana, ucznia i współpracownika legendarnego, światowej sławy profesora uniwersytetu lwowskiego Hugo Steinhausa. Dostałem piątkę. I nawet, jeśli profesor dał ją trochę „za dobre chęci” (dla nas „wolontariuszy” był wyjątkowo łagodny), to mimo wszystko, cieszy. Jego podręcznik „Wstęp do analizy funkcjonalnej” zawierał motto z „Szewców”. Kiedyś w jakiejś swojej, żałośnie przyczynkarskiej publikacji inżynierskiej użyłem tego samego motta.



Nauczyłem się odtąd darzyć wielkim respektem książki zaczynające się od słowa „Wstęp do …”. Można było szybko zgubić wątek, bo to przeważnie był już wstęp do … zakończenia. Zrozumiałem wtedy, że czcigodny profesor, podobny trochę do najprzystojniejszego z braci Marx nie żartował, kiedy serdecznie nam odradzał kupno swojej książki.



Te dodatkowe zajęcia bardzo rozszerzyły moje horyzonty. Analiza funkcjonalna dała mi nową intuicję przestrzeni. Zobaczyłem, że istnieją jakby inne „światy”, inne, co do natury, ale dające się wywieść ze świata, który jest oczywisty, bo istnieję w nim od urodzenia –świata przestrzeni trójwymiarowej.



Ale i ten zwykły świat zaczął być postrzegany inaczej. Mogłem na niego spojrzeć z dystansu, jak na szczególny przypadek „światów” wymyślonych przez Banacha i Steinhausa w lwowskiej Kawiarni Szkockiej i wyrysowanych kopiowym ołówkiem na marmurowym blacie stolika, serwetkach i w grubym zeszycie prezencie od pani Banachowej. Dziwnymi znakami, niezrozumiałymi dla pana Władzia, czy Tońcia, ulubionego „Pana Starszego” tych dwóch przyjaciół, donoszącego kawę i koniak.



Byłem zafascynowany. Każdy nowy rozdział podręcznika analizy funkcjonalnej (ale nie zaczynającego się od słowa „Wstęp …”) zawierał opis nowego rodzaju przestrzeni, nowej krainy po drugiej stronie lustra.



Jedne mi się podobały mniej inne bardziej.

Przestrzeń Banacha była jakby za bardzo polska, swojska, prawie trywialna. Pamiętam, że trochę byłem rozczarowany, że taka „uboga” przestrzeń nosi polskie nazwisko, podczas gdy przestrzeń Hilberta, innego genialnego matematyka, ale anglosaskiego, miała właściwości bardziej ją predestynujące do porównań z krainą Carrola, zresztą też matematyka.



Królowa angielska bardzo się zdziwiła, kiedy po przeczytaniu „Alicji w krainie czarów”, zażądała wszystkich dzieł tego obiecującego bajkopisarza i przyniesiono jej jakieś „Wstępy do…”



Zacząłem na własną rękę studiować różne zagadnienia matematyczne i „przeczytałem ze zrozumieniem” książeczkę amerykańskich matematyków Nagela i Newmana o twierdzeniu Kurta Gődla. Austriacki matematyk w wieku 25 lat(!) skwapliwie skorzystał również z osiągnięć dwóch polskich przyjaciół i został najwybitniejszym matematykiem XX wieku oraz …platonikem.



Do jego głównego osiągnięcia zaraz dojdziemy, ale chcę skończyć ten platoński wątek.



Otóż Gődel uważał, w duchu realizmu platońskiego, że „byty matematyczne” istnieją i są przez matematyków nie – wymyślane, czy konstruowane, lecz odkrywane w tym sensie,

w jakim Kolumb odkrył Amerykę. Tego już było dla mnie za wiele, doznałem zawrotu głowy i na długo zraziłem się do filozofii. Dzisiaj już by mnie to nie szokowało.



Ale Twierdzenie Gődla wywarło na mnie piorunujące wrażenie, tym bardziej, że dzięki talentowi pisarskiemu amerykańskich autorów chyba wszystko zrozumiałem.



W skrócie chodzi w nim o to, że w systemie aksjomatów i reguł wnioskowania sformułowanym dla liczb naturalnych mamy do czynienia z „diabelską alternatywą”: albo uzyskujemy sprzeczność albo niezupełność sytemu.



Czyli albo mamy „zupełny” system aksjomatów i wówczas możemy dowodzić wszelkich twierdzeń, w tym dwóch wzajemnie sprzecznych, albo mamy system niezupełny, wprawdzie niesprzeczny, ale za to pojawiają się twierdzenia prawdziwe, których w tym systemie nie można udowodnić.

Trzeba wyjść POZA SYSTEM i dopiero wtedy takie twierdzenie da się udowodnić, jako prawdziwe.



Nowy zawrót głowy!



Potem Gődel i następcy odkryli, jak stopniowo poszerzać system w ten sposób, by go stopniowo komplikować i ciągle mieć kontrolę nad problemem zupełności i niesprzeczności.

Można budować systemy dedukcyjne o wiele bardziej skomplikowane niż arytmetyka liczb naturalnych.

W pewnym sensie nic to jednak nie daje. Raz na zawsze została pogrzebana nadzieja na ostateczne sformalizowanie systemów, opartych na zestawie aksjomatów.



Można by powiedzieć, że zza twierdzenia Gődla wychyla się do nas Dobry Bóg i puszcza do nas oko: A mam Cię bratku, chcesz mnie sformalizować? To dawaj!



A dzisiaj informatyka ma z tym zupełnie przyziemny problem. Nic nie jest pewne! Programy działają albo nie. Przeważnie nie. Stąd najpopularniejsze słowo w informatyce to upgrade :)



Jakie wnioski?



W skrócie są dwa:

1) Człowiek, który chce wszystko wziąć „na logikę”, przypomina chłopca, który pewnego dnia powiedział mamie, że postanowił doliczyć do nieskończoności.



2) Nawet proste rozumowanie logiczne nie jest zabawą dla uczniaków i wymaga ostrożności, kompetencji oraz ciągłego posługiwania się weryfikacją wyników - INNĄ METODĄ.



Kurt Gődel czuł się w tej problematyce, jak ryba w wodzie. ON MÓGŁ.



Znana jest historia, gdy jako kandydat na obywatela amerykańskiego, zdawał egzamin ze znajomości konstytucji u sędziego. Mimo rad przyjaciela udowadniał mu, że na jej gruncie można bezzwłocznie zbudować reżym autorytarny podobny do faszystowskiego. Tylko dzięki wielkiemu poczuciu humoru sędziego oraz faktu, że na korytarzu czekał ów przyjaciel adepta, wielki Albert Einstein, co bardzo sędziemu imponowało, największy matematyk XX wieku zdał ten egzamin.



A w systemach o niebo bardziej skomplikowanych niż system liczb naturalnych, na gruncie którego Godel sformułował swe wiekopomne twierdzenie takie zabawy to naprawdę grzebanie przy minie przeciwpiechotnej.



Na przykład w teologii. Przecież mamy tu cały szereg problemów dodatkowych, będących źródłem nowych błędów. Na przykład problemów pojęciowych, znaczeniowych. Wówczas stosunek wynikania albo sprzeczność mogą być pozorne nie z powodu założeń i reguł wnioskowania, lecz ze zwykłego błędu w rozumieniu słowa.



Ale nie chcę wchodzić na obcy dla mnie teren. Mam nadzieję, że PRAWDZIWI filozofowie i teologowie to wiedzą.



Nie jestem jednak pewny, czy niektórzy "humanistyczni logicy”, którzy po swoim odkryciu, że im „winda skosem chodzi”, ogłaszają to, jako prawdę objawioną, zdają sobie sprawę, po jak grząskim gruncie stąpają.